Насколько беспроблемно писать вместо Код (PHP): $db = new mysqli("site_example.com", "user","pass","base"); это Код (PHP): $db = new mysqli($_SERVER["SERVER_NAME"], "user","pass","base"); host это устаревшее наследие?
У сервера mysql может быть какое угодно имя. Вот, на одном хостинге, с которым мне доводилось работать, надо писать что-то типа Код (Text): your-project.mysql в параметре $host