Как не отправлять переменную если она пустая?

никак
js
Ajax
Валидатор кода по пальцам пройдет за отсутствие ключа элемента запроса.

 

HTML:

1.  
2. <input type="text" name="city"  id="searchinput" value="<?php echo $gorod;?>" required>
3.  

 

Если используете jQuery:

Код (Javascript):

1. $("input[type='submit']").click( function() {
2.     if ($('#seachinput').val() === '') {
3.        console.error('City is required for this operation!');
4.        return;
5.     }
6.     $.ajax({
7.         url: 'some-url',
8.         type: 'get',
9.         dataType: 'json',
10.         data: $('form#myForm').serialize(),
11.         success: function(data) {
12.                    // ... do something with the data...
13.                  }
14.     });
15. });

 

Я вам уже как-то писал: Post-Redirect-Get.

 

как вариант повесить скрипт на событие отправка формы
и если поле пустое то удалить этот элемент перед отправкой

 

В любом случае обработчик должен проверять получаемые от пользователя (из формы) данные и, в том числе его логика должна учитывать возможность наличия "пустых" значений.
Следовательно, вопрос ни о чём.
PS: Обратите внимание: "Идентификатор в коде документа должен быть в единственном экземпляре" (речь об атрибуте id)