Пользователь через мобильный браузер заходит на сайт и ему нужно авторизоваться через вк, пароль он не помнит, но у него на мобиле стоит приложение вк где он авторизован. Можно ли средствами PHP (или другими средствами) запросить авторизацию в браузере через это официальное приложение без ввода пароля, а допустим нажатием какой-нибудь кнопки "разрешить сайту xyz читать данные"?
dalet разве этот способ авторизации позволяет делать запрос из мобильного браузера в приложение вконтакте на смартфоне?
Нет, так нельзя. Из PHP ты не как не сможешь обратиться к SharedPreference (внутреннему хранилищу) андроид приложения.