Анализ траекторий выхода из системы Земля – Луна — ключевой этап проектирования межпланетных миссий. В отличие от классических задач двух тел, движение аппарата в гравитационных полях нескольких тел не имеет аналитического решения, поэтому реальные траектории приходится искать численно. В новой работе учёные систематически исследовали возможные пути выхода из окрестностей Земли, сравнив модель трёх тел (Земля – Луна – аппарат) и модель четырёх тел с учётом гравитационного влияния Солнца, чтобы понять, как солнечное возмущение меняет структуру допустимых траекторий.

В качестве базовой использовалась плоская круговая ограниченная задача трёх тел для системы Земля – Луна. В этой модели Земля и Луна движутся по круговым орбитам вокруг общего барицентра, а уравнения движения записываются во вращающейся системе координат. По сравнению с традиционным методом такая модель точнее описывает динамику полёта вблизи Луны и позволяет корректно учитывать гравитационный манёвр. Для анализа влияния Солнца авторы перешли к плоской бикруговой задаче четырёх тел, где барицентр системы Земля – Луна обращается вокруг Солнца, а солнечное притяжение вводится через дополнительный член в эффективном потенциале и зависит от фазового угла Солнца.

Чтобы формально определить, считается ли траектория «выходящей» из системы Земля – Луна, был введён единый численный критерий. Он включает превышение заданного расстояния от барицентра (10 расстояний Земля – Луна), положительную радиальную скорость, положительное значение обобщённой энергии и отсутствие столкновений с Землёй или Луной. Хотя для модели четырёх тел строго более корректно использовать двухтельную энергию относительно барицентра, авторы показали, что на больших расстояниях она хорошо аппроксимируется обобщённой энергией, что позволяет использовать один и тот же критерий для сравнения моделей.

Исходные траектории были получены методом сеточного поиска. Аппарат стартовал с круговой околоземной орбиты высотой 167 км, при этом варьировались угол вылета и отношение начальной скорости к круговой в очень узком диапазоне. Такой подход позволил построить глобальные карты решений и выявить области, где траектории группируются. Дальнейший анализ был сосредоточен на траекториях с одним гравитационным манёвром у Луны — они оказались наиболее многочисленными, формировали чёткие кластеры и требовали импульс выведения, близкий к минимально возможному.

Для идентификации этих кластеров был применён алгоритм DBSCAN — метод анализа данных, который позволяет находить группы произвольной формы без заранее заданного числа кластеров. Это дало возможность перейти от визуального анализа карт к строгой классификации «семейств» траекторий, объединённых схожей динамикой.

В модели трёх тел было выявлено 19 семейств траекторий. Они различаются типом гравитационного манёвра у Луны — попутным или встречным — и демонстрируют устойчивые динамические паттерны. После лунного манёвра обобщённая энергия в этой модели практически не меняется, поскольку основное перераспределение энергии происходит скачкообразно во время сближения с Луной. С практической точки зрения это позволило выделить оптимальные решения: минимальное время перелёта (26 дней) относится к одному семейству, а минимальный импульс выведения — к другому.

Учёт гравитации Солнца заметно усложнил картину. В модели четырёх тел число семейств выросло до 24 и 32 в зависимости от начального фазового угла Солнца, при этом часть ранее существовавших семейств исчезла и появились новые. Принципиальное отличие проявилось в энергии: в отличие от модели трёх тел, после лунного манёвра она перестаёт сохраняться и может как возрастать, так и убывать по мере удаления аппарата от системы Земля – Луна из-за постоянного солнечного возмущения.

Сопоставление результатов позволило выделить несколько ключевых эффектов. Солнечная гравитация увеличивает общее число возможных траекторий и качественно перестраивает пространство решений, но для траекторий с одним лунным манёвром и временем перелёта до 90 дней её влияние на минимальный импульс выведения остаётся ограниченным. Авторы делают практический вывод: на предварительном этапе проектирования допустимо использовать более простую модель трёх тел, однако любая найденная в ней траектория требует обязательной проверки в модели с учётом Солнца, поскольку солнечное возмущение может радикально изменить её дальнейшее поведение.